浮点数的机器表示

浮点数的标准 —— IEEE Floating Point(IEEE754)

• 此标准在1985年建立
• 浮点数的二进制表示与整数相似，每一位的二进制位数乘上那一位的二进制权重，求和之后就是二进制数的十进制表示，本质上是没有区别的。不过小数点之后的权重都是小于0的。如图：

• 用数学公式表达就是：$ \sum\limits_{k=-j}^i b_k · 2^k $

• 浮点数示例：

  • 根据上图的小数部分的分数表示，我们可以得到以下表：

• 局限性：

  • 只能精确地表示 X/$2^k$ 这样的数据。

计算机中的浮点数表示：

• 数字表示：

  • $(-1)^s M 2^E$

    • 符号位：s
    • 尾数：M 一个位于[1.0 ，2.0) 的一个小数。
    • 阶码：E 表示2的E次幂
• 阶码

• exp域：E
• farc域：M

• 单精度浮点数：exp域宽度8 bits，farc域宽23bits，共32bits。
• 双精度浮点数：exp域宽度11 bits，farc域宽52bits，共64bits。
• 扩展精度浮点数：exp域宽度15 bits，farc域宽63bits，共80bits。（1 bit wasted）【很少见，不做要求】

浮点数的类型：

• 规格化浮点数

  • 满足条件：

    • exp ≠ 000...0 且 exp ≠ 111...1

  • 真实的阶码值E需要减去一个偏置（biased）量

    E = Exp - Bias

    • Exp：exp域所表示的无符号数值

    • Bias的取值：

      $2^(e-1) - 1$

      • 单精度数：127 （Exp：1...254，E: -126...127）

      • 双精度数：1023 （ Exp：1...2046，E: -1022...1023）

        • farc域的第一位隐含为1

        M = 1.xxx...$x_2$

        • 因此，第一位的“1”可以省略

        000...0：M = 1.0

        1111...1：M = 2.0 - \boldsymbol{\epsilon}

        • 示例：

        Float F = 15213.0

        • $15213$ = $11101101101101_2$ = $1.1101101101101_2$ X $2^1$$ 3$
        • 尾数

        M = $1.1101101101101_2$

        farc = $11011011011010000000000_2$

      • 阶码：

        E = 13
        Bias = 127
        Exp = 140 = $10001100_2$

    结果如下图：

    

• 非规格化浮点数（Denormalized）

  • 满足条件：

    exp = 000...0

  • 其他域的取值：

    E = -Bias + 1

    M = 0.xxx...$x_2$

  • 具体示例：

    • exp = 000...0 ，farc = 000...0

      表示0

      注意有+0和-0的区别

    • exp = 000...0 ，farc ≠ 000...0

      表示非常接近0的浮点数

      会逐步丧失精度（Gradual underflow）

• 一些特殊值

  • 满足条件：
    exp = 111...1

  • 具体示例

    exp = 111...1，frac = 000...0

    • 表示无穷
      可用于表示数值的溢出
    • 有正无穷和负无穷

 exp = 111...1，frac ≠ 000...0

  - not-a-number（NaN）